齐次坐标系的起源：从莫比乌斯闲着没事干说起

平行线相交于无穷远处，故事从莫比乌斯闲着没事干说起

在欧几里得几何中，平行线是永不相交的，这一点让数学家莫比乌斯有点不舒服，闲着没事干，他就想，能不能提出一种几何计算体系，在这种体系中，平行线也是相交的，相交于无穷远处，如此，就实现了平行线和非平行线的统一。

在莫比乌斯研究这个体系的过程中，他发明的"齐次坐标系"，对后世影响深远。

不过，值得注意的一点是，莫比乌斯说的"平行线相交于无穷远处",只是指二维平面上的俩个平行线相交于无穷远处，而不是三维投影到二维后表现出来的透视中的“平行线相交于消失点”。必须强调的是，莫比乌斯关于“齐次坐标系”的所有研究都是站在二维视角上的。这是怎么回事？请看下文。

齐次坐标系

齐次坐标系的现代定义的核心就是将一个原本是$n$维的向量用$n+1$维的向量表示。

例如$(1,2)$的齐次坐标可以是$(1,2,1)$或$(2,4,2)$, 这俩个齐次坐标是等价的。

所谓“齐次”就是指某些性质不随成比例的变化而变化，而在齐次坐标系，“齐次”就表现为$对于非0标量k (kx,ky,kw)都指向同一标准坐标(\frac{x}{w},\frac{y}{w})$.

齐次坐标系解决了计算机图形学中很多重要问题，但不是本文重点（其他文章再论述），仅列举:

1. 统一用矩阵乘法表示所有几何变换
2. 统一表示点和向量
3. 透视投影（这个其实挺值得讨论）

莫比乌斯的初心《重心计算》

“齐次坐标系”的计算体系最早出现在莫比乌斯的《重心计算》，最早是为了解决古典几何中平行线和非平行线的统一问题。

“齐次坐标系”并不是他提出的名词，他最开始研究的内容也不是射影几何，而只是二维平面的内容，所以在他的这套体系下，(x,y,w)的语义并不是一个三维空间中的一点。如果用“n维”这样子的语言去描述莫比乌斯最开始关于“齐次坐标系”的设计，恐怕是很奇怪的。他最开始的描述大概是这样子的：

为什么要这样子做呢？试看下面这俩个直线方程:

欧几里得几何里平行线是算不出交点的，莫比乌斯就寻思，如果我这样子写呢？

嘶，那话又说回来了，莫比乌斯为啥非得整出个三元组表示法呢？明明直接用$\frac{x}{w}$这样子的形式也能得到无穷远的结果啊。

其实是为了代数的完备性，这里有俩个要点问题：

1. 大部分数学领域里，无穷$\infty$不是一个数，不能进行代数运算
2. 上面写的笛卡尔坐标系的直线方程转换成齐次坐标系直线方程不是严格的代数运算（因为他们俩个是独立的系统）,导致后续求出w=0的操作的前提（即直线转换是合法的）有漏洞。

首先，$(\infty,\infty)$ 这样子的坐标肯定是非法的，因为$\infty$不是数。

其次，无论使用笛卡尔坐标系，还是齐次坐标系，除以$0$都是非法的。

而用$(x,y,0)$这样子的三元组表示无限远的点是合法的，因为$x,y$和$0$都是数，

同时，由于$(x,y,w)$对应$(\frac{x}{w},\frac{y}{w})$我们能以这样子的形式转化出不含除以$0$的直线方程:

通过引入"齐次坐标系"，莫比乌斯解决了上面俩个要点，实现了一个完全合乎一般代数法则的支持“平行线相交于无穷远处”的几何计算体系。

不难看出，莫比乌斯最初想解决的这个问题，是纯二维问题，包括重心计算这本书研究的也是二维射影几何，跟后来的三维透视，没有什么关系。而当齐次坐标系参与到透视的故事中来，那是很多年以后的事情，计算因子w到维度z的改变¹，不仅仅是名字的改变，更是人视角的改变。